Coordonnées entières en 1D

 

Avant de donner les coordonnées des sommets des pyramides d’or, passons d’abord par les coordonnées en 1D puis en 2D.

Ci-dessous on peut voir 2 axes gradués, l’un de 1 en 1, l’autre de φ en φ :

 

Superposons ces 2 axes :

 

 

Ci-dessous on peut voir plusieurs entiers de Dirichlet (de la forme aφ + b, a et b étant des entiers relatifs) :

Le point M a pour abscisse -2φ + 5 ; on notera :

xxφ(M) = -2φ + 5   ou   xxφ(M) = (-2,5)

On a de même :                    xxφ(N) = 2φ - 3   ou   xxφ(N) = (2,-3)

 

 

Coordonnées entières en 2D

 

Ci-dessous on peut voir 2 repères obliques (angle de 36°), l’un gradué de 1 en 1, l’autre de φ en φ :

Superposons ces 2 repères :

Si un point M a pour abscisse  xxφ(M) = (a,b) et pour ordonnée yyφ(M) = (c,d), on le notera M(a,b,c,d).

On a donc :

 

 

Voici quelques autres points :

et le cercle unité (rayon 1) :

Le même en version vZome :

Visualisation des coordonnées :

On peut obtenir les coordonnées des points du cercle de rayon φ en multipliant celles des points du cercle de rayon 1 par φ en utilisant la règle suivante :

(a,b,c,d) x φ = (a+b,b,c+d,d)

On peut aussi utiliser vZome pour visualiser les résultats :

A l’aide de ce système de coordonnées, on peut donner des coordonnées entières à tous les sommets des pièces d’un pavage de Penrose. J’ai utilisé ces coordonnées pour placer mes pièces dans “La Ora Stelo” en ligne.

Maintenant, un peu de calcul : si, dans ce système de coordonnées, on a le point M(a,b,c,d), ses coordonnées seront, dans un repère classique :

x_M = aφ + b + (cφ + d) cos 36°     et    y_M = (cφ + d) sin 36°    

et, par suite :

OM² = x_M ² + y_M ²

OM² = [aφ + b + (cφ + d) cos 36°]² + [(cφ + d) sin 36°]²

OM² = (aφ + b)² + 2(aφ + b)(cφ + d) cos 36° + (cφ + d)² cos² 36° + (cφ + d)² sin² 36°

OM² = (aφ + b)² + 2(aφ + b)(cφ + d) cos 36° + (cφ + d)² [cos² 36° + sin² 36°]

En utilisant le fait que cos 36° = φ/2 et cos² 36° + sin² 36° = 1, il reste :

OM² = (aφ + b)² + (aφ + b)(cφ + d) φ + (cφ + d)²

OM² = a²φ² + 2abφ + b² + (acφ² + adφ + bcφ + bd) φ + c²φ² + 2cdφ + d²

Avec φ² = φ + 1 :

OM² = a²φ + a² + 2abφ + b² + (acφ + ac + adφ + bcφ +bd) φ + c²φ + c² + 2cdφ + d²

OM² = … + acφ² + acφ + adφ² + bcφ² + bdφ + …

OM² = … + acφ + ac + acφ + adφ + ad + bcφ + bc + bdφ + …

OM² = (a² + 2ab + 2ac + ad + bc + bd + c² + 2cd) φ + (a² + b² +ac + ad + bc + c² + d²)

Si on fait chercher, par Mathematica par exemple, les points (a,b,c,d) tels que a, b, c et d soient 1, 0 ou -1 et que a² + 2ab + 2ac + ad + bc + bd + c² + 2cd = 1 et a² + b² +ac + ad + bc + c² + d² = 1, on obtient les 10 points du cercle de rayon φ (en effet OM² = φ + 1 et OM = φ).

 

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