Pour la 3D, partons de la pyramide d’or Tetra phia et traçons les axes le long des côtés de longueur φ :

Si un point M a pour coordonnées  xxφ(M) = (a,b),  yyφ(M) = (c,d) et zzφ(M) = (e,f), on le notera M(a,b,c,d,e,f).

Les coordonnées des sommets du tétraèdre sont :

 

 

Les coordonnées des points du cercle de rayon φ du plan zzφ(M) = (0,0) sont :

En bleu, le point φ de l’axe zzφ.

Les coordonnées des points du cercle de rayon φ du plan yyφ(M) = (0,0) sont :

 

En rouge, les points du premier cercle ; en rouge pointé de blanc, les points communs aux deux cercles (il y a 8 nouveaux points).

Les coordonnées des points du cercle de rayon φ du plan xxφ(M) = (0,0) sont :

 

 

Il y a 6 nouveaux points.

Autre vision des 3 plans (il y a donc 24 sommets) :

Si on rajoute 3 autres plans, on obtient :

 

Il y a 6 nouveaux points (les 3 pointés en rouge et leurs symétriques) ; cela fait en tout 30 points qui sont les sommets d’un icosidodécaèdre de rayon φ.

Les 6 nouveaux points ont pour coordonnées : (1,0,-1,-1,1,0), (-1,-1,1,0,1,0) et (-1,0,-1,0,1,1) pour ceux qui sont pointés en rouge et (-1,0,1,1,-1,0), (1,1,-1,0,-1,0) et (1,0,1,0,-1,-1) pour leurs symétriques.

Si on veut les coordonnées des 30 sommets de l’icosidodécaèdre de rayon 1, il suffit de diviser les coordonnées par φ, c’est-à-dire les multiplier par φ – 1, comme suit :

(a,b,c,d,e,f) x (φ – 1) = (b,a – b,d,c – d,f,e – f)

Maintenant, un peu de calcul ; mais auparavant il faut préciser une notation ; j’appellerai a l’angle O du triangle COH (voir dessin : H est le pied de la hauteur issue de C) :

Avec cette notation, les coordonnées dans un repère classique du point M(a,b,c,d,e,f) seront :

x_M = aφ + b + (cφ + d) cos 36° + (eφ + f) cos a cos 18°

y_M = (cφ + d) sin 36° + (eφ + f) cos a sin 18°

et  z_M = (eφ + f) sin a

Par suite :

OM² = x_M ² + y_M ² + z_M ²

OM² = [aφ + b + (cφ + d) cos 36° + (eφ + f) cos a cos 18°]² + [(cφ + d) sin 36°+ (eφ + f) cos a sin 18°]² + [(eφ + f) sin a]²

OM² = (aφ + b)² + 2(aφ + b)(cφ + d) cos 36° + (cφ + d)² cos² 36° + 2(cφ + d)(eφ + f) cos 36°cos a cos 18° + (eφ + f)² cos² a cos² 18° + 2(aφ + b)(eφ + f) cos a cos 18° + (cφ + d)² sin² 36° + 2(cφ + d)(eφ + f) sin 36°cos a sin 18° + (eφ + f)² cos² a sin² 18° + (eφ + f)² sin² a

OM² = (aφ + b)² + 2(aφ + b)(cφ + d) cos 36° + (cφ + d)² cos² 36° + 2(cφ + d)(eφ + f) cos 36°cos a cos 18° + (eφ + f)² cos² a cos² 18° + 2(aφ + b)(eφ + f) cos a cos 18° + (cφ + d)² sin² 36° + 2(cφ + d)(eφ + f) sin 36°cos a sin 18° + (eφ + f)² cos² a sin² 18° + (eφ + f)² sin² a

En utilisant le fait que, pour tout angle x,  cos² x + sin² x = 1 et que cos 36°cos 18° + sin 36°sin 18° = cos 18°,  il reste :

OM² = (aφ + b)² + 2(aφ + b)(cφ + d) cos 36° + (cφ + d)² + 2(cφ + d)(eφ + f) cos a cos 18° + (eφ + f)² + 2(aφ + b)(eφ + f) cos a cos 18°

En utilisant le fait que cos 36° = cos a cos 18° = φ/2 , il reste :

OM² = (aφ + b)² + (cφ + d)² + (eφ + f)² + (aφ + b)(cφ + d) φ + (aφ + b)(eφ + f) φ + (cφ + d)(eφ + f) φ

OM² = a²φ² + 2abφ + b² + c²φ² + 2cdφ + d² + e²φ² + 2efφ + f² + (acφ² + adφ + bcφ + bd) φ + (aeφ² + afφ + beφ + bf) φ + (ceφ² + cfφ + deφ + df) φ

Avec φ² = φ + 1 et  φ³ = 2φ + 1 

OM² = a²φ + a² + 2abφ + b² + c²φ + c² + 2cdφ + d² + e²φ + e² + 2efφ + f² + 2acφ + ac + adφ + ad + bcφ + bc + bdφ +2aeφ + ae + afφ + af + beφ +be + bfφ +2ceφ + ce + cfφ + cf + deφ +de +dfφ

OM² = (a² + 2ab + c² + 2cd + e² + 2ef + 2ac + ad + bc + bd + 2ae + af + be + bf + 2ce + cf + de + df) φ + (a² + b² + c² + d² + e² + f² + ac + ad + bc + ae + af + be + ce + cf + de)

En faisant, à partir de ce résultat, la même recherche qu’en 2D, on trouve les coordonnées des 30 sommets de l’icosidodécaèdre (de rayon φ avec OM² = φ + 1 et de rayon 1 avec OM² = 1).

 

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