Introduction

Les pyramides d’or sont le résultat d’un passage à la troisième dimension des triangles d’or.

Les triangles d’or sont des triangles isocèles tels que le rapport des longueurs de deux de leurs côtés soit égal au nombre d’or φ, soit  (environ 1,618). Ils sont de deux sortes :

 

Les uns ont des angles de 36°, 72° et 72° ; les autres ont des angles de 108°, 36° et 36°.

Si on donne la même longueur à leurs petits côtés et qu’on prenne cette longueur pour unité, les autres côtés mesurent φ. On obtient :

 

Les deux triangles ci-dessus ont des propriétés intéressantes que l’on va adapter aux pyramides d’or.

*  Si on prend pour unité d’aire l’aire de celui de droite, l’aire de l’autre est φ :

*  Si on multiplie les longueurs des côtés de ces triangles par φ, on obtient de nouveaux triangles d’or :

Le fait intéressant est que ces nouveaux triangles peuvent être pavés à l’aide des triangles du départ :

 

Si on multiplie les dimensions de ces nouveaux triangles par φ, on obtient d’autres triangles qui peuvent aussi être pavés à l’aide des triangles du départ ; en continuant ce processus sur un seul de ces triangles, on obtient un pavage du plan ; ce pavage, connu sous le nom de pavage de Penrose, est non périodique.

 

Approche en 3D

Le premier pas était de fabriquer des tétraèdres dont les faces seraient des triangles d’or ; hélas, il n’existe qu’un tétraèdre de cette sorte ; voici son développé et une vue en perspective :

          

 

Il faut donc utiliser d’autres triangles ; un essai avec un triangle équilatéral de côté 1 amène entre autres à ces 2 tétraèdres :

 

 

 

Un petit calcul montre que si on prend pour unité de volume le volume du deuxième, celui du premier est φ. On a donc une propriété intéressante ; par contre, il est impossible de reconstituer ces deux tétraèdres après avoir multiplié leurs dimensions par φ.

En effet, si on utilise des tétraèdres qui ont le triangle équilatéral de côté 1 comme face, il faut aussi des tétraèdres ayant le triangle équilatéral de côté φ comme face.

Mais pour reconstituer le triangle équilatéral de côté φ² (ou φ + 1) on ne peut pas utiliser seulement un des 4 triangles précédents ; il faut rajouter un parallélogramme de côtés 1 et φ :

 

Avec ce parallélogramme comme face  on ne peut pas avoir un tétraèdre, je parlerai donc maintenant de pyramides.

J’appellerai « pyramide d’or » toute pyramide dont les faces sont prises parmi les 5 figures suivantes :

Parmi ces pyramides, il en existe dont le volume (avec le même tétraèdre que ci-dessus comme unité de volume) est une puissance de φ ou un multiple d’une puissance de φ ; je dirai qu’elle sont « phiables » ; d’autres (comme le premier tétraèdre ci-dessus) ne sont pas « phiables » ; je modifie donc ma définition : j’appellerai « pyramide d’or » toute pyramide « phiable » dont les faces sont prises parmi les 5 figures ci-dessus.

Les 8 pyramides d’or

Avec la définition ci-dessus, on obtient 8 pyramides d’or dont voici les développés :

Leurs volumes sont, dans l’ordre, φ, 1, 1, φ, φ – 1 (ou φ^-1), φ + 1 (ou φ²), 2 et 2 φ.

Les 6 premières sont des tétraèdres que je nommerai, dans l’ordre, Tetra phia, Tetra 1a, Tetra 1b, Tetra phib, Tetra phi-1 et Tetra phi+1. Comme leurs développés ont un axe de symétrie, peu importe le sens du pliage. On obtient le même tétraèdre dans les deux sens.

Les 2 autres sont des pyramides dont la base est un parallélogramme ; ce sont aussi des pentaèdres que je nommerai PentaPar 2 et PentaPar 2phi. Ici, suivant le sens du pliage, on obtient une pyramide ou sa symétrique : j’ai choisi de laisser les faces colorées à l’intérieur des pyramides.

Si on multiplie les dimensions de l’une de ces 8 pyramides par φ, la nouvelle pyramide peut être reconstituée à l’aide de certaines de ces pyramides (voir tableau ci-dessous) :

Pyramide multipliée	Pyramides utilisées							Volume
Tetra phi-1 x phi	Tetra phib	Tetra 1b						phi + 1
Tetra 1a x phi	Tetra phia	Tetra 1a	Tetra phib					2phi + 1
Tetra 1b x phi	Tetra phib	PentaPar 2	Tetra phi-1					2phi + 1
Tetra phia x phi	Tetra phia	Tetra 1a	Tetra phib	Tetra phi+1				3phi + 2
Tetra phib x phi	Tetra phib	PentaPar 2	Tetra phi-1	Tetra phia	Tetra 1a			3phi + 2
PentaPar 2 x phi	Tetra phi+1	PentaPar 2	Tetra phib	Tetra phia	Tetra phi-1			4phi + 2
Tetra phi+1 x phi	Tetra phi+1	PentaPar 2	PentaPar 2phi	Tetra phia	Tetra phib			5phi + 3
PentaPar 2phi x phi	PentaPar 2	Tetra phi+1	Tetra phib	PentaPar 2phi	Tetra phia	Tetra 1a	Tetra phib	6phi + 4

 

On peut donc, en partant par exemple de Tetra phia, en multipliant ses dimensions par φ puis reconstituant la pyramide obtenue et en recommençant ce processus, obtenir un pavage de l’espace. Je pense que ce pavage est non périodique bien que je ne l’ai pas démontré.

 

Intérêt de ces 8 pyramides d’or

Ces 8 pyramides d’or permettent également de reconstituer un grand nombre de solides :

Ci-dessous voici une pyramide régulière à base pentagonale dont toutes les arêtes mesurent 1 ; elle est constituée de Tetra 1a à laquelle on ajoute deux Tetra phi-1.

Nom : Pyr5(1)

Volume : 2φ – 1

Ci-dessous, une pyramide régulière avec la même base mais des arêtes obliques de longueur φ ; elle est constituée de Tetra phi+1 à laquelle on ajoute deux Tetra phib.

 

Nom : Pyr5(phi)

Volume : 3φ + 1

Construction d’un icosaèdre :

Nom : Icosaèdre

Volume : 10φ

Autre construction d’un isocaèdre :

L’antiprisme pentagonal est fait avec quatre Tetra 1a, trois Tetra phi-1, deux Tetra phib et un Tetra phi+1.

Autres solides :

Dodécaèdre

Icosidodécaèdre

 

 

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